【星ますか?オマージュ】カメコの星【数学パズル】

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以下の表を見て後の問に答えなさい。

科目 カメオ カメコ 平均点
国語 80点 94点 87.0点
数学 100点 88点 94.0点
理科 93点 86点 89.5点
社会 85点 97点 91.0点
英語 68点 ★点 64.0点

上記はとある試験における海亀中学校3年1組の受験結果を示したものである。
カメコは苦手な英語でクラスの最低点をとってしまったが、5教科の合計点はクラス単独1位であった。
この時、カメコの点数を求めなさい。

但し、以下の点に留意すること。
a)いずれの科目も最高点、最低点の者はそれぞれ1人ずつしかいないものとする。
b)最高点、最低点、平均点はいずれも海亀中学校3年1組のクラス全体の最高点、最低点、平均点である。
c)3年1組の生徒全員が全科目とも受験し、欠席や未受験、失格はない。
d)クラスの人数は40人以下とする。
e)各教科の得点は必ず整数である。
f)この問題は純粋な数学パズルであり、数学的要素以外の騙し要素は一切存在しない。
g)この問題の解答権は1回のみである。質問はできないものとする。不正解であった場合は正解を与えないが、解答を続けても構わない(代わりに良質を与える)。

※この問題はおっさんの問題文のオマージュです。


出題者:
出題時間: 2020年6月15日 22:36
解決時間: 2020年6月20日 20:13
© 2020 エルナト 作者から明示的に許可をもらわない限り、あなたはこの問題を複製・転載・改変することはできません。
転載元: 「【星ますか?オマージュ】カメコの星【数学パズル】」 作者: エルナト (Cindy) URL: 
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<想定する誤った解法と解答>
国語、数学、理科、社会の平均点を見ると、いずれもカメオとカメコの平均点となっていることが分かる。
従って海亀中学校3年1組の生徒数は2人であると考えられる。
よって、英語の平均点とカメオの得点から、カメコの得点は 64-(68-64)=60点
(または64×2-68=60点)

***答え***
60点…… 誤答


<想定する正しい解法と解答>
※数学が苦手な人はこの色の部分は読み飛ばして構わない。

条件より、カメコの点数を絞ることができる。
まず、このクラスの人数をN人とする。

ここで、
カメオの5教科の合計点は80+100+93+85+68=426点
カメコの5教科の合計点は94+88+86+97+★=365+★
また、5教科の平均点は各科目の平均点の合計に等しいので、
87+94+89.5+91+64=425.5点

(∵各教科の受験者合計点は平均点のN倍となるが、全教科の合計点は各教科のN倍の和であり、
 87N+94N+89.5N+91N+64N=425.5Nであるので、N人での平均点はNで割って425.5点である)

カメコの英語の得点はクラスで最下位であるので、カメオ及び平均点より低いはずである。
よって、
★ < 68 かつ ★ <64 これをまとめて ★ < 64 ・・・ ①

次に、合計点は学年単独1位であるので、その合計点はカメオ及び平均点より高いはずである。
よって、
365 + ★ > 426 かつ 365 + ★ > 425.5 すなわちこれをまとめて ★ > 61 ・・・ ②

①、②より、★に当てはまる整数は 62 または 63 である。

ところで、カメコは英語の最低点であったが、条件aよりカメコと同点者はいない。

カメコが63点であったと仮定すると、カメコ以外の受験者の点数は64点以上ということになる。
しかし、カメオが68点であることからカメオとカメコ以外が何人いても平均点が64点となることはありえない

(厳密には、カメオとカメコ以外が全員64点であった場合、クラスの人数が60人の時、平均点は64.05点、61人の時、平均点は64.049……点となり、小数点第2位の四捨五入で64.0点となる。よって、クラスの人数が61人以上であれば平均点は64.0点となりうるが、条件dよりクラスの人数は40人以下でありこれを満たせない)

よって、カメコの英語の点数は62点しかありえない

(この時、例えばカメオとカメコ以外に国数社理英の点数がそれぞれ87,94,89,91,63と87,94,90,91,63の生徒が1人ずついれば、平均点や順位の条件を全て満たすため、クラスの人数40人以下で条件を満たす点数の組み合わせは存在する)

***答え***
62点…… 正答


出題者:
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パトロン:
アシカ人参
と 匿名パトロン 3 名
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Cindy